完全二叉树,树与二叉树

 

生龙活虎、树的基本概念

二叉树的各类基本造型:

 

n是偶数

n是奇数

i是叶子结点(i)无孩子

i>n/2

i>n/2

i有两个孩子

i<n/2

i<=n/2

i有1个孩子(且是左孩子)

i=n/2

i有左孩子

i<=n/2

i<=n/2

i有右孩子

i<n/2

i<=n/2

i有左兄弟

 一定有

一定有 

i有右兄弟

i 1 <= n 

i 1 <= n  (一定有)

1.1 树的定义

      树是N个结点的有数集合,N=0时称为空树。任何后生可畏颗非空树均知足有且只有叁个根结点,别的结点可分为m个互不相交的一定量集结,在那之中每一个成团本身又是风度翩翩棵树,称为根结点的子树

      树的定义是递归的,大器晚成棵树由若干个子树组成,子树又由更加小的子树构成。树是大器晚成种紧要的非线性结构,也是风流倜傥种支行结构,用来描述客观世界中遍布存在的档次结构

图片 1 

图1 树知识结构

           

结点总的数量是n,最终贰个有儿女的结点编号是:n/2,非叶子结点一定是n/2,叶子结点的个数是n – n/2.

1.2 基本术语

      树的树形表示:

图片 2 

图2 树形结构

(1卡塔尔国构思K结点,根A到结点K的独一无二路子上的人身自由结点,称为K的祖先结点。如结点B为K的祖辈结点,K为结点B的子孙结点。结点E称为K的爹妈结点,K为结点E的儿女结点。有同一双亲的结点称为男子结点,如结点K和结点L为小朋友结点。

(2卡塔尔国树中二个结点的子结点个数称为该结点的度,树中结点的最大度数称为树的度。如节点B的度为2,节点D的度为3,树的度为3。

(3卡塔尔度大于0的结点称为支行结点(非终端节点卡塔尔;度为0(未有男女结点卡塔 尔(英语:State of Qatar)的结点称为叶子结点极点节点卡塔尔。每一种结点的分支数正是该节点的度。

(4卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎节点的吃水、中度和档次

      结点档次从树根开头定义,根节点为率先层,它子结点为第二层,就这样推算。

      结点深度从根结点最初自顶向下逐层累积。

      结点高度从叶结点最早自底向上逐层累积。

      树的冲天是树中节点最大的层数,如上海教室树的莫斯科大学为4。

(5卡塔 尔(英语:State of Qatar)有序树和冬季树。树中结点的左右是有前后相继的,不能够沟通称之为有序树;反之称为九冬树。

(6卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎路线和渠道长度,两结点间路径是五个结点之间所通过的结点体系构成的,路径长度是路径上经验过的边的个数。如上海教室,结点A和K的路线长度为3,中间经过结点B和结点E。

(7)森林,森林是m颗互不相交的树的集合。把树的根节点删去就成了山林,反之,给n颗独立的树加上多少个跟结点,森林就成了树。

图片 3

深度为h的二叉树,除h层,1 to h-1 各层结点数目都到达最大,h层的结点都一而再再而三集中在最侧面。那样的二叉树叫完全二叉树。

1.3 树的特性

(1)    树中结点数也正是全数结点的度数加1

(2卡塔 尔(英语:State of Qatar)    度为m的树中第i层上至多有mi-1个结点(i >= 1)

(3卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎    中度为h的m叉树至多有(mh-1)/(m-1)个结点

(4卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎    具备n个结点的m叉树的小小中度为⌈logm(n(m-1) 1)⌉(迈入取整)

树结点与度之间的涉及:

1.  计算点数 = N0 N1 N2 … Nm;

2.  总分支数 = 1* N1 2* N2 … m* Nm(度为m的结点引出m条分支卡塔尔国

3.  小结点数 = 总分支数 1

满二叉树:在生龙活虎棵二叉树中,假诺具备支行结点都留存左子树和右子数,並且具备叶子结点都在长久以来层上。

私自二个结点的左子树高度是L,它的右子树一定是L或L-1.

二、二叉树的定义

图片 4

1 to h-2层的具备结点度都以2,h层的享有结点度都为0,h-1层的结点度只怕为0,1,2。

2.1 二叉树的概念

      二叉树的表征是种种结点至多有两颗子树(海市蜃楼度大于2的结点卡塔尔,而且其子树有左右之分,次序不能够颠倒,就算在结点独有生机勃勃颗子树的地方下也要鲜明提出是左子树依旧右子树。

多少个新鲜的二叉树

1.满二叉树

      风华正茂颗中度为h且含有2h-1个结点的二叉树称为满二叉树,树中的每意气风发层都包蕴最多的结点,满二叉树的卡牌结点都集中在最终面部分,除叶子结点之外的任何结点度均为2。

 图片 5

图3 满二叉树

      对满二叉树按档案的次序顺序编号如上海体育场所,约定根结点从1开首,自上而下,自左至右。那么对于编号为i的结点,若有老人家,其双亲为⌊i/2⌋ (向下取整),若有左孩子则为2i,若有右孩子则为2i 1

2.通通二叉树

      低度为h,有n个结点的二叉树,当且仅当其每种结点都与深度为h的满二叉树中编号1~n的结点风度翩翩朝气蓬勃对合时,称为完全二叉树,如下图。该树的性状如下:

图片 6 

图4 完全二叉树

(1卡塔尔    叶子结点只恐怕在档次最大的两层上现身

(2)    若有度为1的结点,只恐怕有二个,且该结点独有左孩子未有右孩子

(3卡塔尔国    若i<=⌊n/2⌋,则i为分支结点,不然为叶子结点

(4卡塔尔国    按等级次序编号时,生龙活虎旦现身某结点i为叶子结点或独有左孩子,那么编号大于i的结点均为叶子结点

(5卡塔尔    若n为奇数,每种分支结点都有左右儿女;若n为偶数,则编号为n/2的结点独有左孩子,别的分支结点左右孩子都有

3.二叉排序树

      二叉排序树是享有以下性质的二叉树:左子树上全体结点的最主要字均低于根节点的严重性字;右子树上全数结点的严重性字均超过根节点的重中之重字。左右子树又各是意气风发颗二叉排序树。

4.平衡二叉树

      树上任生机勃勃结点的左子树和右子树的吃水之差不当先1。

一同二叉树:假设豆蔻年华棵具备n个结点的二叉树的构造与满二叉树的前n个结点的组织同样,那样的二叉树称作完全二叉树。

叶子结点只大概出现在h和h-1层,只只怕有1个或未有度为1的结点,若有,该结点的左孩子是二叉树最终四个结点。

2.2 二叉树的品质

(1卡塔尔国非空二叉树上叶子结点数等于度为2的结点数加1,即N0 = N2 1

      申明:设度为0、1和2的结点个数分别为N0、N1和N2、结点总的数量N= N0 N1 N2。再看二叉树中的分支数,除根节点外,别的结点都有二个支行步向,设B为分支总量,则N=B 1。由于那个分支由度为1或2的结点射出,所以B= N1 2N2

      于是得出N0 N1 N2 = N1 2N2 1,则N0 = N2 1。

(2卡塔尔国非空二叉树第K层至多有2k-1个结点(K>=1)

(3)高度为h的二叉树至多有2h-1个结点(h>=1)

(4卡塔 尔(英语:State of Qatar)对完全二叉树按从上到下,从左到右的逐个编号为1,2,…,N则有以下关系:

      ① 当I > 1时,结点i的老人结点编号为⌊i/2⌋

      ② 当2i <= N时,结点i的左孩子编号为2i,不然无右孩子

      ③ 当2i 1 <= N时,结点i的右孩子编号为2i 1,不然无左孩子

      ④ 结点i所在档期的顺序(深度卡塔尔为⌊log2i⌋ 1

      ⑤ 具备N个结点的完全二叉树的高度为⌈log2(N 1)⌉或⌊log2N⌋ 1

       接下来分别对二叉树的顺序存款和储蓄和链式存储进行总结,分别完毕二叉树的前中后序遍历的递归和非递归算法,以致档次遍历。

 

图片 7

二叉树要么未有孩子,个数是n-n/2,要么有几个男女,个数是n/2或n/2-1,要么独有叁个左孩子,且那样的结点唯有一个,若是二个结点有右孩子,必有左孩子。

二叉树的品质:

n是偶数,有度为1的结点,n是奇数无度为1的结点。

  性质1: 若规定根结点的层系为1,则后生可畏颗非空二叉树的第i层上最多有2i-1(i>=1)个结点。

i是奇数,必是右孩子,左兄弟是i-1,

  性质2:若规定空树的纵深为0,则深度为h的二叉树最大结点个数(至多卡塔尔是2h-1个结点(h≥0)。

i是偶数,必是左孩子,若n是奇数,必有右兄弟,是i 1;若n是偶数且i!=n,必有右兄弟,是i 1。

  性质3:对其余风姿洒脱颗二叉树T,借使其终端结点数 为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2 1。

完全二叉树的二种形态

  性质4: 具备n(n>0)个结点的一心二叉树的深度k不超过[ln2(n 1)]。

 

  性质5:借使对风度翩翩棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号,则对随便结点i(1≤i≤n)有

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1)若是i=1,则结点i是二叉树的根,无大人;倘若i>1,则其爹妈PARENT(i)是结点[i/2].

抱有n个结点的完全二叉树的深度为k = [log2 n] 1 (自个儿推叁回)

2)尽管2i<n,则结点i左孩子结点序号未2i;不然序号为i的结点无左孩子;

深度为h的一丝一毫二叉树最多有  个结点(h>=1), 最稀少2^(h-1) – 1 1个结点;

3)若是2i 1<n,则结点i的右孩子结点的序号为2i+1;不然未有右孩子。

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